根的存在性和唯一性的常用证明思路与步骤(以一个习题一题多解为例)
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问题:设函数f(x)在[0,+∞)上存在二阶导数,f(0)=0,f’(0)>0,f’’(x)≤a<0,其中a为常数.
证明:(1) 存在x0>0,使f’(x0)=0;
(2)方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根.
【思路分析】:两个问题都是证明根的存在性,加一个唯一性。
● 存在性的常用证明思路:零点定理(直接验证函数满足零点定理的条件)、罗尔定理(验证一个原函数满足罗尔定理的条件)
● 唯一性的常用证明思路:单调性、反证法
【证明一】:因为f(x)在[0,+∞)上存在二阶导数,即f(x), f’(x)在[0,+∞)上连续, 且f’’(x)在[0,+∞)上存在, 所以由泰勒公式, 有
由于f’’(x)≤a<0,所以
并且有
由极限的保号性, 则存在X>0, 当x∈(X,+∞)时,
所以
由导数的定义, 有
同样由极限的保号性, 存在x∈(0,δ), 使得
所以
所以由零点定理, 在[x2,x1]上, 可知存在 c∈(x2,x1), 使得 f(c)=0. 所以在[0,c]上使用罗尔定理, 则有x0∈(0,c), 使得f’(x0)=0.
假设除了c外函数还有一个非零的零点x3, 则有0, c, x3为函数f(x)的零点,则两两使用罗尔定理可得两个一阶导数等于零的点, 对一阶导数结果再使用罗尔定理, 可得存在二阶导数等于0的点, 所以与二阶导数小于0矛盾,因此函数只有一个非零的零点.
【证明二】 (1)【证明一】:由拉格朗日中值定理,对任意x>0,有
由于f’’(x)≤a<0,x>0,所以存在x1>0,使f’(x1)<0(参考证明一),x0∈(0,x1),使f’(x0)=0.
【证明二】:拉格朗日中值定理,对任意x>0,并由f’’(x)≤a<0,有
取
则有
故由零点定理可知,存在x0∈(0,x1),使f’(x0)=0.
(2) 【证法一】根的唯一性)因为f’’(x)≤a<0,所以f’(x)在[0,+∞)上单调递减. 由此可得:
当0<x<x0时,f’(x)> f’(x0)=0,从而f(x)严格单调增加,即有f(x0)>f(x)>f(0)=0,则方程f(x)=0在0<x<x0内无实根.
当x>x0时,f’(x)<f’(x0)=0,则f(x)在严格单调递减,方程f(x)=0在x>x0时至多只有一个实根.
(根的存在性证明一)由拉格朗日中值定理,有
由于f’(x0)=0,所以
再由拉格朗日中值定理,存在η∈(x0,x),使得
由于a<0,所以存在x2>x0,使f(x2)<0(参照证明一),由零点定理,存在c∈(x0,x2),使f(c)=0,即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c.
根的存在性证明二)f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
所以可得:存在x2>x0,使f(x2)<0(参照证明一),由零点定理,存在c∈(x0,x2),使f(c)=0,即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c.
(2)【证法二】:(根的唯一性)因为f’’(x)≤a<0,所以曲线y=f(x)在[0,+∞)上是严格凸的,又由f(0)=0,f’(x0)=0,可知,x0为f(x)在(0,+∞)内唯一的驻点,且取最大值f(x0)>0. 并且当0<x<x0时,严格单调递增,f(x)>0;当x>x0时,f(x)严格单调递减,于是f(x)=0在(0,+∞)内最多有一个根,且若存在只能在(x0,+∞)内.
(根的存在性) f(x)在x0处的一阶泰勒公式为
取
有
由零点定理,存在c∈(x0,x2),使f(c)=0,即方程f(x)=0在(0,+∞)内有唯一实根x=c.
【注】以上集成多位老师、同学解题思路与过程,欢迎指出解题过程中的问题,更希望有更多更好的证明方法分享、交流!谢谢
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